均分正交再制作幻立阵两例

例 15：以5*7阶幻阵E为模，取3*5阶幻阵为序码用均分正交法制作 5*7*15 阶幻立阵。

（1）以下是模幻阵E 与序码幻阵G：

  29   19   4    2    16   21   35           2    11   12   6    9

  22   9    10   33   11   13   28           15   3    8    13   1

  30   24   31   18   5    12   6            7    10   4    5    1

均分正交制作 5 * 7 * 25 阶幻立阵

例 14：以5*7阶幻阵E为模，取5阶幻方为序码用均分正交法制作5*7*25阶幻立阵。

  （1）以下是模幻阵E 与序码幻阵G：

  29   19   4    2    16   21   35           11   18   25   2    9

  22   9    10   33   11   13   28           10   12   19   21   3

  30   24   31   18   5    12   6            4    6    13   20 &nb

拼合制作对称幻阵（2）

    如果n*m阶标准幻阵U由自然数1到n*m，且U关于中心对称的任意两项之和都是对称和w=1+n*m，即U(x, y)+ U(n+1-x, m+1-y)=w 恒成立，则U称作对称幻阵。

一、奇阶对称幻阵的拼合制作步骤：（参阅例1）

1、现有一个n*m阶对称幻阵E，(n,m∈奇数，且n<m)，以幻阵E为基础，可以拼合制作p*r阶对称幻阵，其中r=p+q+p， p,q各是n,m中的一个数。

2、用序码1至r蛇形排列成两行，取其左侧p列排成2*p阶幻阵F；中码u=(1+r)/2。

3、以2*p阶幻阵F的上行为序码作p阶拉丁

拼合制作对称幻阵（1）

拼合制作对称幻阵乃是钟明采用苏茂挺先生智慧之末而创作，十分有效！先看例1：

                            (

苏茂挺的三维寻常解创作

    苏茂挺先生是不多得的幻方数学奇才，对数字及组合异常敏感！且与时俱进，常在新知识的风口浪尖上，多有精品佳作推出。我们现介绍苏先生的两款三维寻常解，虽属小品制作，亦闪烁智慧的灵光，其寻常性的检验也使我眼前一亮。

   这两课题前在钟明先生做过，故说小品，其实再制作一个也不是简

幻立阵和积的反演（2）

     一个n*m*r阶模基幻立阵A与另一个p*q*s阶项基幻立阵B做克罗内克尔乘积，所得结果是一个np*mq*rs阶的新幻立阵D。幻立阵D按小块从上向下划为r个界，由前朝后划为n个区，每一区自左到右是m个块，这是块序；每一块均是s层p行q列，此为项序。幻立方中的每一项（数）都有明确无误的块序与项序，如数w=(i,j,k)，数w在z界x区y块的cz层cx行cy列。在模块幻立阵中，分居两块（块序不同）而项序相同的两项（数）称为同位项，它们所处的位置是同位格。

    倘将其块序与项序对调，数w调到cz界cx区cy块的z层x行y列，这就是数w的反演变换。若D中每一数皆如此调动，则得到乘积幻立阵D的反演幻立阵V。

    幻立阵D原是n*m*r块，反演后得V是p*q*s块。原和积一块中的p*q*s个连续数